在概率論中,條件期望是一個實數隨機變量的相對於一個條件概率分布的期望值。換句話說,這是給定的一個或多個其他變量的值一個變量的期望值。它也被稱為條件期望值或條件均值。
條件期望的概念在柯爾莫哥洛夫的測度理論概率論的定義很重要。條件概率的概念是由條件期望來定義的。
設
和
是離散隨機變量,則
在給定事件
條件時的條件期望是
的在
的值域的函數
![{\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} (X=x,Y=y)}{\operatorname {P} (Y=y)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2165ca2c69d54baf44a4bfcb3498b464ca271a30)
其中,
是處於
的值域。
如果現在
是一個連續隨機變量,而
仍然是一個離散變量,條件期望是:
![{\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\int _{\mathcal {X}}xf_{X}(x|Y=y)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7146b07c5de2762406534cafde6f4b8e69750c3)
其中,
是在給定
下
的條件概率密度函數。
正式的定義[編輯]
給定
是一個定義在概率空間
上的隨機變量,
是
的一個子σ-代數,且
。
則定義
在給定
下的條件期望
是滿足以下兩個條件的隨機變量
:
是
上的可測函數;
。
在這一定義下,
是存在且在幾乎必然的意義下唯一的。[1]
條件概率的定義[編輯]
參考文獻[編輯]
- ^ Rick Durrett, Richard. Probability : theory and examples Fifth. Cambridge: Cambridge University Press. : 178–180. ISBN 9781108591034.
外部連結[編輯]